Schnittpunkt

Ein Schnittpunkt ist in der Geometrie ein gemeinsamer Punkt von Kurven oder Flächen in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Diese Definition schließt auch die Möglichkeiten ein, dass sich die Kurven oder Flächen lediglich berühren oder dass die gesamte Schnittmenge selbst eine Kurve oder Fläche ist (wie etwa Schnittgeraden). Je nach Kontext oder Autor werden solche Möglichkeiten auch ausgeschlossen.

In der Ebene können sich zwei Kurven schneiden, im einfachsten Falle handelt es sich dabei um zwei Geraden. Im dreidimensionalen Raum kann außerdem eine Kurve mit einer Fläche einen Schnittpunkt bilden, z. B. eine Gerade mit einer Ebenen, oder es können sich zwei Flächen schneiden.

Allgemein versteht man in der Mathematik unter einem Schnittpunkt von zwei Mengen einen Punkt, der in den beiden Mengen enthalten ist. Diese Definition schließt auch Schnittpunkte von höherdimensionalen Objekten wie Hyperebenen ein, die sich der Anschauung entziehen.

In der modernen Mathematik werden Kurven und Flächen typischerweise mithilfe von Gleichungen beschrieben. Die Bestimmung von Schnittpunkten läuft dann auf das Lösen von Gleichungssystemen hinaus. Bei den Schnittpunkten von Geraden, Ebenen oder Hyperebenen handelt es sich um linearen Gleichungssystemen, die mit den Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können.

Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nichtlineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen, zum Beispiel der Regula falsi, dem Sekantenverfahren, dem Newtonverfahren oder dem Householder-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis, Hyperbel, Ellipse, Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, …) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, einer Kugel, einem Zylinder oder einem Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen.

1. ↑ So spricht man in der klassischen euklidischen Geometrie bei der Betrachtung von Geraden typischerweise nur dann von einem Schnittpunkt, wenn die Geraden nur einen gemeinsamen Punkt haben, also nicht gleich sind (vgl. Scheid, Schwarz: Elemente der Geometrie, S. 2).

1. ↑ Schnittpunkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 4: Moo bis Sch. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, S. 469. 
2. ↑ Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 35, 73, 74.