σ-Endlichkeit

Der Begriff der ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit (auch ${\displaystyle \sigma }$-Finitheit) beschreibt in der Maßtheorie die Eigenschaft eines Maßes ${\displaystyle \mu }$, wenn die Grundmenge ${\displaystyle X}$ des Maßraumes ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ als abzählbare Vereinigung von Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ mit endlichem Maß ${\displaystyle \mu (A_{n})<\infty }$ dargestellt werden kann. Der Begriff ist eine Verallgemeinerung des Begriffes der Endlichkeit eines Maßes, jedes endliche Maß ist auch ${\displaystyle \sigma }$-endlich. Der Begriff liefert auch eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in ${\displaystyle \sigma }$-endliche und nicht ${\displaystyle \sigma }$-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.