Stereografische Projektion

Eine stereografische Projektion ist eine Abbildung der Innenseite einer Kugelfläche auf eine Ebene mit Hilfe einer Zentralprojektion, wobei das Projektionszentrum auf der Kugeloberfläche liegt. Das Bild des Kugelpunktes mit dem Projektionszentrum liegt im Unendlichen, und seine Umgebung ist mehr oder weniger nicht in der praktisch endlich großen Bildfläche enthalten. Die Bildebene befindet sich orthogonal zur Geraden, die das Projektionszentrum (PZ) und den Kugelmittelpunkt enthält. Traditionell wird dafür die dem Projektionszentrum gegenüberliegende, die Kugel tangierende Ebene benutzt, wonach es sich um eine azimutale Projektion handelt. Besonderheit dieser Abbildung ist, dass alle Kreise (Groß- und Kleinkreise) auf der Kugel im Bild wieder Kreise sind (Kreistreue). Die stereografische Projektion gehört auch zu den eine konforme Abbildung erzeugenden Projektionen.

Die stereografische Projektion wurde zuerst bei der Abbildung der Himmelskugel auf dem Astrolabium angewendet. Entdeckt wurde sie bereits in der Antike, vermutlich von Hipparchos von Nicäa um 130 v. Chr. Ausführlich und mit geometrischem Beweis für die Kreistreue ist sie in der kleinen Abhandlung Planisphaerium des Ptolemäos (ca. 85–160) behandelt. Die Idee, die Kreis- und die Winkeltreue dieser Abbildung auch für kartografische Abbildungen der Erdoberfläche zu nutzen, hatte erstmals der Nürnberger Astronom und Mathematiker Johannes Werner (1468–1528). Dass die Flächenverzerrung gegen außen immer größer wird, ist hierbei besonders nachteilig. I.d.R. wird deshalb höchstens das Bild der halben Erde benutzt. Das Bild des Projektionszentrums liegt im Unendlichen.

In der Kristallografie findet die stereografische Projektion praktische Anwendung in der Darstellung der Gitterebenen eines Kristalls (üblicherweise winkeltreu mittels des sogenannten Wulff’schen Netzes) und in der Strukturgeologie bei der Darstellung von Geländedaten wie des Streichens und Fallens von Schicht-, Schieferungs-, Verwerfungs- und Kluftflächen (üblicherweise flächentreu mittels des sogenannten Schmidt’schen Netzes).

In der reinen Mathematik hat die stereografische Projektion eine erweiterte, abstraktere Bedeutung. Sie wird auch für höherdimensionale Räume, also nicht nur zur Abbildung aus dem dreidimensionalen in den zweidimensionalen Raum, benutzt.

1. 1 2 Mathematik.de: Kreisverwandte Abbildungen.
2. ↑ Guido Schmitz: Materialphysik I. Vorlesungsskript. Uni Münster, 2012, S. 2 f.
3. ↑ Jean-Pierre Burg: Strukturgeologie: Strukturelle Analyse der Polyphasen Defromation. Vorlesungsskript (Kapitel 10), ETH Zürich, 2017, S. 287 ff.
4. ↑ Elena Perk: Stereographische Projektion. (Memento vom 11. Januar 2016 im Internet Archive) S. 2.
5. ↑ Karlhorst Meyer: Stereographische Projektion. In: Mathematikinformation. Nr. 29, S. 12 (mathematikinformation.de [PDF; 136 kB]).