Stone-Čech-Kompaktifizierung

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung ist eine Konstruktion der Topologie zur Einbettung eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ in einen kompakten Hausdorff-Raum. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung ${\displaystyle \beta X}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist der „größte“ kompakte Hausdorff-Raum, der ${\displaystyle X}$ als dichte Teilmenge „enthält“. Präzise ausgedrückt bedeutet das, dass jede Abbildung von ${\displaystyle X}$ in einen kompakten Hausdorff-Raum bezüglich ${\displaystyle \beta X}$ eindeutig faktorisierbar ist. Wenn ${\displaystyle X}$ ein Tychonoff-Raum ist, dann ist die Abbildung ${\displaystyle X\rightarrow \beta X}$ eine Einbettung. Man kann sich ${\displaystyle X}$ also als dichten Unterraum von ${\displaystyle \beta X}$ vorstellen.

Man benötigt das Auswahlaxiom (etwa in Form des Satzes von Tychonoff), um zu zeigen, dass jeder topologische Raum eine Stone–Čech-Kompaktifizierung besitzt. Auch für sehr einfache Räume ${\displaystyle X}$ ist es sehr schwer, eine konkrete Angabe von ${\displaystyle \beta X}$ zu bekommen. Zum Beispiel ist es unmöglich, einen expliziten Punkt aus ${\displaystyle \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$ anzugeben.

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung wurde von Marshall Stone (1937) und Eduard Čech (1937) unabhängig voneinander gefunden. Čech stützte sich auf Vorarbeiten von Andrei Nikolajewitsch Tichonow, der 1930 gezeigt hatte, dass jeder vollständig reguläre Raum in ein Produkt von abgeschlossenen Intervallen eingebettet werden kann. Die heute so genannte Stone–Čech-Kompaktifizierung ist dann der Abschluss der Einbettung. Stone betrachtete hingegen den Ring ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen, reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$. Bei seiner Konstruktion ist die heutige Stone–Čech-Kompaktifizierung die Menge der Ultrafilter eines Verbands mit einer bestimmten Topologie.

1. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2001, S. 334.