Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{, falls }}\beta >1}$

den Modus

${\displaystyle \operatorname {Mod} (X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{, falls }}\alpha \geq 1{\text{, sonst }}\operatorname {Mod} (X)=0}$

und die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{, falls }}\beta >2}$.

Ist der zweite Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ der Gammaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {G}}(a,\epsilon )}$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {G}}(b,1)}$ verteilt ist, dann folgt die hervorgehende Zufallsvariable einer inversen Betaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {InvB}}(a,b)}$.

Eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Gamma-Gamma} (a,b=1,d)}$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {InvB}}(\alpha =d,\beta =a)}$.

• Eric W. Weisstein: Beta Prime Distribution. In: MathWorld (englisch).