Cassinische Kurve

Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte ${\displaystyle P}$ in der Ebene, für die das Produkt ihrer (meistens unterschiedlich großen) Abstände von zwei gegebenen Punkten ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$, auch Brennpunkte genannt, festgelegt ist auf ${\displaystyle {\overline {P_{1}P}}\cdot {\overline {P_{2}P}}=c^{2}(c\in \mathbb {R} _{0}^{+})}$. Von Giovanni Domenico Cassini wurden diese Kurven auch nach Entdeckung der keplerschen Gesetze als Planetenbahnen vorgeschlagen.

Bei auftretender Symmetrie ${\displaystyle {\overline {P_{1}P}}={\overline {P_{2}P}}}$ beträgt die Länge beider Abstände nach Definition jeweils ${\displaystyle c}$. Einen Spezialfall der Cassinischen Kurve bildet die Lemniskate von Bernoulli mit ${\displaystyle c=a}$, wobei ${\displaystyle 2a}$ den Abstand der Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ bezeichnet.

Im Unterschied zur Definition einer Cassinischen Kurve bleibt bei einer Ellipse die Summe der Abstände von den Brennpunkten konstant.

Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}\qquad a,c\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

beschreiben, wobei ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ und ${\displaystyle P_{2}=(-a,0)}$ gesetzt wurde. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos(2\varphi )\pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}(2\varphi )+(c^{4}-a^{4})}}\qquad a,c\in \mathbb {R} _{0}^{+}.}$

Das Problem werde in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem der Ebene behandelt, sodass ${\displaystyle P_{1}=P(a,0)}$ und ${\displaystyle P_{2}=(-a,0)}$, mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ gilt. Dann gilt für einen Punkt ${\displaystyle P=(x,y)}$ auf der Kurve laut Definition:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c^{2}&=&|PP_{1}|\cdot |PP_{2}|={\sqrt {(x+a)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\\c^{4}&=&[(x+a)^{2}+y^{2}][(x-a)^{2}+y^{2}]=(x^{2}-a^{2})^{2}+y^{2}[(x+a)^{2}+(x-a)^{2}]+y^{4}\\&=&(x^{4}-2x^{2}a^{2}+a^{4})+y^{2}[2x^{2}+2a^{2}]+y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+a^{4}-2a^{2}x^{2}+2a^{2}y^{2}\\c^{4}-a^{4}&=&(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2}).\end{array}}}$

Für den Übergang in Polarkoordinaten ist die Transformation ${\displaystyle x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )}$ nötig. Es ergibt sich mit dem „trigonometrischen Pythagoras“:

${\displaystyle c^{4}-a^{4}=r^{4}-2a^{2}r^{2}(\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi ))=r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos(2\varphi ).}$

Dies ist eine Quartische Gleichung, insbesondere handelt es sich hier um den biquadratischen Spezialfall, der als Quadratische Gleichung in ${\displaystyle r^{2}}$ zu lösen ist:

${\displaystyle (r^{2})^{2}-2a^{2}\cos(2\varphi )\cdot r^{2}-(c^{4}-a^{4})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow r^{2}(\varphi )=a^{2}\cos(2\varphi )\pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}(2\varphi )+(c^{4}-a^{4})}}.}$

Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:

1. Fall

Für ${\displaystyle c>a{\sqrt {2}}}$ ist die Kurve ein ungefähr ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei ${\displaystyle (\pm {\sqrt {c^{2}+a^{2}}},\,0)}$, die Schnittpunkte mit der y-Achse bei ${\displaystyle (0,\pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}}})}$. Bei ${\displaystyle c\gg a}$ nähert sich die Kurve asymptotisch einem Kreis mit Radius ${\displaystyle c}$ um den Ursprung.

2. Fall

Für ${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}}$ ergibt sie wieder ein ungefähr ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei ${\displaystyle (\pm a{\sqrt {3}},\,0)}$. An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei ${\displaystyle (0,\,\pm a)}$ ist die Krümmung der Kurve gleich 0.

3. Fall

Für ${\displaystyle a<c<a{\sqrt {2}}}$ ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im 1. Fall ${\displaystyle c>a{\sqrt {2}}}$. Neben den beiden y-Achsenabschnitten befinden sich die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}\left(\pm {\sqrt {4a^{4}-c^{4}}},\ \pm c^{2}\right)}$, wo ein Kreis mit Radius a um den Ursprung die Kurve schneidet.

Die vier Wendepunkte liegen bei

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(m-n)}},\,\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(m+n)}}\right)\quad {\text{mit}}\quad m={\sqrt {\tfrac {c^{4}-a^{4}}{3}}}\quad {\text{und}}\quad n={\tfrac {c^{4}-a^{4}}{3a^{2}}}}$

4. Fall

Für ${\displaystyle c=a}$ ergibt sich die Lemniskate.

5. Fall

Für ${\displaystyle c<a}$ ergeben sich zwei Ovale um die Punkte ${\displaystyle (a,0)}$ und ${\displaystyle (-a,0)}$. Die Schnittpunkte mit der x-Achse haben die x-Koordinaten

${\displaystyle \pm {\sqrt {a^{2}\pm c^{2}}}}$

Die Extrema sind an den Punkten

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}\left(\pm {\sqrt {4a^{4}-c^{4}}},\ \pm c^{2}\right)}$

Die Ovale werden mit abnehmendem c kreisförmiger und nähern sich asymptotisch Kreisen um die Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ mit Radius ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2a}}}$.

Orthogonaltrajektorien einer gegebenen Kurvenschar sind Kurven, die alle gegebenen Kurven orthogonal schneiden. So sind z. B. zu einer Schar konfokaler Ellipsen die zugehörigen konfokalen Hyperbeln Orthogonaltrajektorien. Für Cassinische Kurven gilt:

• Die Orthogonaltrajektorien der Cassinischen Kurven zu zwei Punkten ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ sind die gleichseitigen Hyperbeln durch ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ mit dem Mittelpunkt von ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ als Mittelpunkt (s. Bild).

Beweis:
Um die Rechnung einfach zu gestalten, seien ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$.

Die cassinischen Kurven genügen der Gleichung

${\displaystyle f(x,y)\;=\;(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-c^{4}=0}$.

Die gleichseitigen Hyperbeln (d. h. ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander) durch ${\displaystyle (1,0),(-1,0)}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ genügen der Gleichung

${\displaystyle y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\quad \lambda \in \mathbb {R} .}$

Die Hyperbeln schneiden die y-Achse nicht und die x-Achse nur in ${\displaystyle (\pm 1,0)}$. Eine Hauptachsentransformation zeigt, dass es sich tatsächlich um gleichseitige Hyperbeln mit dem Ursprung als Mittelpunkt handelt. Mit Punktproben erkennt man: ${\displaystyle (1,0),(-1,0)}$ liegen auf den Hyperbeln. Um eine vom Parameter unabhängige Normale der Hyperbeln zu erhalten, benutzt man besser die folgende implizite Darstellung:

${\displaystyle g(x,y)\;=\;{\frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-\lambda ={\frac {x}{y}}-{\frac {y}{x}}-{\frac {1}{xy}}-\lambda =0\;.}$

Für den Nachweis, dass sich die Hyperbeln und die cassinischen Kurven senkrecht schneiden, zeigt man, dass ${\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y)\cdot \operatorname {grad} g(x,y)=0}$ ist für alle Punkte ${\displaystyle (x,y),\;x\neq 0\neq y}$. Dies ist rechnerisch leicht nachvollziehbar, da die beiden Scharparameter beim Differenzieren herausfallen.

Bemerkung:
Das Bild der cassinischen Kurven und den dazu orthogonalen Hyperbeln ist den Feld- und Potentiallinien zweier gleicher Punktladungen ähnlich aber nicht gleich. Bei einer Äquipotentiallinie zweier Punktladungen ist die Summe der Kehrwerte der Abstände zu zwei festen Punkten konstant: ${\displaystyle {\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}={\text{konstant}}}$. (Siehe implizite Kurven)

Cassinische Kurven treten auch als ebene Schnitte von Tori auf. Allerdings nur dann, wenn die

• schneidende Ebene parallel zur Torusachse und der Abstand von der Torusachse gleich dem Radius des erzeugenden Kreises ist (s. Bild).

Schneidet man den Torus mit der Gleichung

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$

mit der Ebene ${\displaystyle y=r}$ so erhält man zunächst:

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}+R^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+r^{2}\right).}$

Nach dem teilweisen Auflösen der ersten Klammer ergibt sich

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}-2R^{2}(x^{2}-z^{2})=4R^{2}r^{2}-R^{4}.}$

Die ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle z}$-Koordinaten der Schnittkurve erfüllen die Gleichung einer Cassinischen Kurve mit den Parametern ${\displaystyle c^{2}=2Rr,\;a=R}$.

Zu weiteren Torusschnitten: siehe Villarceau-Kreise, Spirische Kurve.

Die Cassinischen Kurven können folgendermaßen parametrisiert werden:

${\displaystyle x={\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}$ und ${\displaystyle y={\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}$

Diese Parametrisierung erfüllt die Gleichung für kartesische Koordinaten:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}}$

Der Flächeninhalt der Cassinischen Kurven für den Fall c > a kann auf folgende Weise ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\int _{0}^{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}|y(x)|dx=4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]y(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =\\&=4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =\\&=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta )^{2}[c^{2}+2a^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{3}}}\mathrm {d} \vartheta =\\&=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}\left[{\frac {c^{2}}{2}}E(\vartheta ;a^{2}/c^{2})-{\frac {\sin(\vartheta )\cos(\vartheta )[c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}]^{3/2}}{2[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{2}}}\right]\mathrm {d} \vartheta =2c^{2}E(a^{2}/c^{2})\\\end{aligned}}}$

Endresultat:

${\displaystyle A=2c^{2}E(a^{2}/c^{2})}$

Bei dieser Formel ist ${\displaystyle E}$ das vollständige elliptische Integral zweiter Art.

Bei der Lemniskate von Bernoulli ist ${\displaystyle c=a}$ und somit gilt: ${\displaystyle A=2a^{2}\cdot E(1)=2a^{2}}$.

Im Fall c < a wird das Argument des elliptischen Integrals ${\displaystyle E(>1)}$ so, dass seine numerische Berechnung einen Imaginärteil aufweist. Der Flächeninhalt der beiden (gleich großen) Ovale^[1] ist dann gegeben als Realteil des Resultats für a < c wie folgt:

${\displaystyle A=\Re {\left(2c^{2}E(a^{2}/c^{2})\right)}=2a^{2}\cdot \left(E(c^{2}/a^{2})-(1-c^{4}/a^{4})\cdot K(c^{2}/a^{2})\right)}$ mit ${\displaystyle K}$ als vollständigem elliptischen Integral der ersten Art.

Der Umfang der Cassinischen Kurven für den Fall c > a kann auf folgende Weise ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}y(\vartheta )\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =\\&=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =\\&=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}{{\sqrt {c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}}\mathrm {d} \vartheta =4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w\end{aligned}}}$

Endresultat:

${\displaystyle U=4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w}$

Für die Theta-Werte von 0 bis ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ wird ein Viertel der gesamten Kurve parametrisiert.

Der Umfang lässt sich auch geschlossen mithilfe elliptischer Integrale erfassen:

Das numerisch equivalente Integral ${\displaystyle U=4c^{2}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{4}+c^{4}+2a^{2}c^{2}\cos(2p)}}}\mathrm {d} p}$^[2] kann online ausgewertet werden. Die Vereinfachung des erhaltenen Resultates ergibt für

${\displaystyle c>a}$

${\displaystyle U=4c\cdot K\left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-a^{4}/c^{4}}}}{2}}}\right)}$,

${\displaystyle c=a}$

${\displaystyle U=4a\cdot K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$, (Lemniscate von Bernoulli mit ${\displaystyle U=2{\sqrt {2}}a\varpi }$) und

${\displaystyle c<a}$

${\displaystyle U={\frac {4c^{2}}{a}}\cdot K\left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-c^{4}/a^{4}}}}{2}}}\right)}$. Das asymptotische Limit für c gegen 0 beträgt mit ${\displaystyle K(0)=\pi /2}$ hier ${\displaystyle 2\pi c^{2}/a}$, was der Summe des Umfangs zweier Kreise mit Radius ${\displaystyle r={\frac {c^{2}}{2a}}}$ entspricht.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle K}$ das vollständige elliptische Integral erster Art.

Die Konstruktion einer Cassinischen Kurve lässt sich leicht auf ebene Kurven und Flächen mit beliebig vielen Grundpunkten verallgemeinern:

• ${\displaystyle |PP_{1}|\cdot |PP_{2}|\cdots |PP_{n}|=c^{n}}$

beschreibt im ebenen Fall eine implizite Kurve und im 3-dimensionalen Raum eine implizite Fläche.

• Verallgemeinerte Kurven zu 3 Punkten
• Verallgemeinerte Fläche zu 6 Punkten

• Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0.
• I. Agricola, T. Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, Springer-Spektrum, 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, S. 60.

• Weisstein, Eric W. "Cassini Ovals." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• 2Dcurves.com description
• "Ovale de Cassini" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French)
• core.ac.uk

1. ↑ mathcurve.com
2. ↑ MATZ F . (1895) . The Rectification of the Cassinian Oval by Means of Elliptic Functions, Am . Math . Monthly, Vol 2, pp .221 - 357, eq.(3)