Homotopie-Faser

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Homotopie-Faser einer Abbildung ein nützlicher Begriff der Homotopietheorie.

Zu jeder stetigen Abbildung topologischer Räume

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

gibt es eine Homotopie-Äquivalenz ${\displaystyle \phi \colon X^{\prime }\to X}$, so dass

${\displaystyle f\circ \phi \colon X^{\prime }\to Y}$

eine Faserung ist. Die Faser dieser Faserung heißt Homotopie-Faser von ${\displaystyle f}$. Sie ist nur bis auf Homotopie-Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall, dass ${\displaystyle \iota \colon X\to Y}$ eine injektive Abbildung ist. In diesem Fall kann man ${\displaystyle X^{\prime }}$ konstruieren als Menge aller Wege in ${\displaystyle Y}$, die in ${\displaystyle X}$ enden.

${\displaystyle X^{\prime }=\left\{\sigma \in Y^{I}\colon \sigma (1)\in X\right\}}$.

${\displaystyle X}$ kann in ${\displaystyle X^{\prime }}$ als Menge der konstanten Wege eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz ${\displaystyle X^{\prime }\to X}$. Die Abbildung ${\displaystyle \sigma \to \sigma (0)}$ definiert eine Faserung ${\displaystyle X^{\prime }\to Y}$ und für einen festen Punkt ${\displaystyle x_{0}\in Y}$ ist die Faser ${\displaystyle F}$ die Menge aller Wege in ${\displaystyle Y}$, die im festen Basispunkt ${\displaystyle x_{0}}$ starten und in ${\displaystyle X}$ enden.

${\displaystyle F=\left\{\sigma \in Y^{I}\colon \sigma (0)=x_{0},\sigma (1)\in X\right\}}$

Als ein Beispiel betrachten wir die Inklusion der Einpunktvereinigung ${\displaystyle X\vee Y}$ in das Produkt ${\displaystyle X\times Y}$. Die Homotopie-Faser ist mit der obigen Beschreibung die Vereinigung ${\displaystyle PX\times \Omega Y\cup \Omega X\times PY}$ entlang des Durchschnitts ${\displaystyle \Omega X\times \Omega Y}$. (Hier bezeichnet ${\displaystyle PX}$ den Wegeraum und ${\displaystyle \Omega X}$ den Schleifenraum.)

Falls ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ den Homotopietyp von CW-Komplexen haben, ist diese Homotopie-Faser schwach homotopieäquivalent zum Verbund ${\displaystyle \Omega X*\Omega Y}$ der beiden Schleifenräume.^[1]

Für eine nicht notwendig injektive Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ betrachte

${\displaystyle X^{\prime }=\left\{(x,\sigma )\in X\times Y^{I}\colon f(x)=\sigma (1)\right\}}$.

${\displaystyle X}$ kann in ${\displaystyle X^{\prime }}$ mittels ${\displaystyle x\to (x,\sigma _{x})}$ für den jeweils konstanten Weg ${\displaystyle \sigma _{x}}$ eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz ${\displaystyle X^{\prime }\to X}$. Die Abbildung ${\displaystyle (x,\sigma )\to \sigma (0)}$ definiert eine Faserung ${\displaystyle X^{\prime }\to Y}$ und für einen festen Punkt ${\displaystyle x_{0}\in Y}$ ist die Faser

${\displaystyle F=\left\{(x,\sigma )\in X\times Y^{I}\colon \sigma (0)=x_{0},f(x)=\sigma (1)\right\}}$

Sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung und ${\displaystyle F}$ ihre Homotopie-Faser. Dann hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

${\displaystyle \ldots \rightarrow \pi _{n+1}(Y,y)\rightarrow \pi _{n}(F,(x,\sigma _{x}))\rightarrow \pi _{n}(X,x)\rightarrow \pi _{n}(Y,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,(x,\sigma _{x}))\rightarrow \ldots }$.

Hier ist ${\displaystyle x\in X,y=f(x)}$ und ${\displaystyle \sigma _{x}\in F}$ ist der Weg in ${\displaystyle Y}$, der konstant ${\displaystyle f(x)}$ ist.

Aus der Kenntnis der Homotopie-Faser erhält man also Zusammenhänge zwischen den Homotopiegruppen von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

• R. Bott, L. Tu: Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1982. (Seite 249–250)

1. ↑ T. Ganea: A generalization of the homology and homotopy suspension, Comm. Math. Helv. 39, 295–322, 1964.