Seiberg-Witten-Fluss

Der Seiberg-Witten-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Seiberg-Witten-Gleichungen beschriebener Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Seiberg-Witten-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Seiberg-Witten-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als (Seiberg-Witten)-Monopole, welche genau die Seiberg-Witten-Gleichungen lösen, untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.

Benannt ist der Seiberg-Witten-Fluss nach Nathan Seiberg und Edward Witten, welche die zugrundeliegende Seiberg-Witten-Theorie im Jahr 1994 formuliert haben.

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit. Jede solche Mannigfaltigkeit hat eine Spin^c-Struktur,^[1] also eine Hebung der klassifizierenden Abbildung ${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSO} (4)}$ ihres Tangentialbündels zu einer stetigen Abbildung ${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)}$. Alle möglichen Spin^c-Strukturen entsprechen eindeutig der zweiten singulären Kohomologie ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )\cong [M,\operatorname {BU} (1)]}$. Wegen der zentralen Identität:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)\cong \left\{A^{\pm }\in \operatorname {U} (2)|\det(A^{-})=\det(A^{+})\right\}}$

klassifiziert diese Spin^c-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel ${\displaystyle W^{\pm }\twoheadrightarrow M}$ mit gleichem Determinantenbündel ${\displaystyle L=\det(W^{-})=\det(W^{+})}$, welches über das Rahmenbündel einem U(1)-Hauptfaserbündel ${\displaystyle \operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)\twoheadrightarrow M}$ entspricht. Dabei ist ${\displaystyle L\cong \operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} }$ mit dem balancierten Produkt. U(1)-Hauptfaserbündel werden ebenfalls durch die zweite singuläre Kohomologie ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )\cong [M,\operatorname {BU} (1)]}$ klassifiziert, wobei die Kohomologieklasse genau die gleiche wie für die Spin^c-Struktur ist.

Die Seiberg-Witten-Wirkung ist gegeben durch:^[2][3]

${\displaystyle \operatorname {SW} \colon \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))\times \Gamma ^{\infty }(M,S^{+})\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {SW} (A,\Phi ):=\int _{B}{\frac {1}{2}}\|F_{A}^{+}\|^{2}+\|\nabla _{A}\Phi \|^{2}+{\frac {\operatorname {scal} }{4}}\|\Phi \|^{2}+{\frac {1}{8}}\|\Phi \|^{4}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g},}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {scal} }$ die Skalarkrümmung notiert. Mit der folgenden Relation aus der Chern-Weil-Theorie:

${\displaystyle \|F_{A}^{+}\|_{L^{2}}=2\|F_{A}\|_{L^{2}}-4\pi ^{2}c_{1}(L)^{2},}$

kann diese auch umgeschrieben werden zu:

${\displaystyle \operatorname {SW} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\nabla _{A}\Phi \|^{2}+{\frac {\operatorname {scal} }{4}}\|\Phi \|^{2}+{\frac {1}{8}}\|\Phi \|^{4}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}+\pi ^{2}c_{1}(L)^{2},}$

wobei jedoch der letzte Term als Konstante weggelassen werden kann. Ihre ersten beiden Terme werden auch Yang-Mills-Higgs-Wirkung und ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.

${\displaystyle \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (L))}$ und ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(B,S^{+})}$ sind Vektorräume mit von ${\displaystyle B}$ induzierten Skalarprodukten. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {SW} )\colon \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))\times \Gamma ^{\infty }(M,S^{+})\rightarrow \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))\times \Gamma ^{\infty }(M,S^{+}),\langle \operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(A,\Phi ),-\rangle =\mathrm {d} _{A,\Phi }\operatorname {SW} (-).}$

Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Seiberg-Witten-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Seiberg-Witten-Wirkung ohne einen Gradient:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(A,\Phi )_{1}=\mathrm {d} ^{*}F_{A}+i\operatorname {Im} \langle \nabla _{A}\Phi ,\Phi \rangle ;}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(A,\Phi )_{2}=\nabla _{A}^{*}\nabla _{A}\Phi -{\frac {1}{4}}(\operatorname {scal} +\|\Phi \|^{2})\Phi .}$

Für ein offenes Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ sind zwei ${\displaystyle C^{1}}$-Abbildungen ${\displaystyle \alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))}$ und ${\displaystyle \varphi \colon I\rightarrow \Gamma ^{\infty }(M,S^{+})}$ (also stetig differenzierbar) mit:

${\displaystyle \alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\mathrm {d} ^{*}F_{\alpha (t)}-i\operatorname {Im} \langle \nabla _{\alpha (t)}\varphi (t),\varphi (t)\rangle ;}$

${\displaystyle \varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\nabla _{\alpha (t)}^{*}\nabla _{\alpha (t)}\varphi (t)-{\frac {1}{4}}(\operatorname {scal} +\|\varphi (t)\|^{2})\varphi (t)}$

ein Seiberg-Witten-Fluss.^[4][5]

• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory. (englisch, nd.edu [PDF]). 
• Min-Chun Hong Hong, Lorenz Schabrun: Global Existence for the Seiberg-Witten Flow. 10. September 2009; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 0909.1855). 
• Lorenz Schabrun: Seiberg-Witten Flow in Higher Dimensions. 9. März 2010; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1003.1765). 

• Yang-Mills-Fluss
• Yang-Mills-Higgs-Fluss

• Seiberg-Witten flow auf nLab (englisch)

1. ↑ Nicolaescu, Example 1.3.16
2. ↑ Hong & Schabrun 2009, Gl. (4)
3. ↑ Schabrun 2010, Gl. (2) & (4)
4. ↑ Hong & Schabrun 2009, Gl. (9) & (10)
5. ↑ Schabrun 2010, Gl. (7) & (8)