Yang-Mills-Higgs-Fluss

Der Yang-Mills-Higgs-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen beschriebener Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Yang-Mills-Higgs-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Yang-Mills-Higgs-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als Yang-Mills-Higgs-Paare, welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen lösen, sowie deren Stabilität untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.

Benannt ist der Yang-Mills-Fluss nach Chen Ning Yang, Robert Mills und Peter Higgs, von denen die vorderen beiden die zugrundeliegende Yang-Mills-Theorie im Jahr 1954 formuliert haben und letzterer die Kopplung an das Higgs-Feld im Jahr 1964 vorgeschlagen hat.

Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel, wobei ${\displaystyle B}$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik ${\displaystyle g}$ und Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ ist. Sei ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B}$ das adjungierte Vektorbündel. ${\displaystyle \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator ${\displaystyle \star }$ mit der Metrik ${\displaystyle g}$ und der Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ auf der Basismannigfaltigkeit ${\displaystyle B}$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:^[1][2]

${\displaystyle \operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

Ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.

${\displaystyle \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ und ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ sind Vektorräume mit von ${\displaystyle B}$ induzierten Skalarprodukten. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )\colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E)),\langle \operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(A,\Phi ),-\rangle =\mathrm {d} _{A,\Phi }\operatorname {YMH} (-).}$

Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Yang-Mills-HiggsWirkung ohne einen Gradient:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(A,\Phi )_{1}=\delta _{A}F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ];}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(A,\Phi )_{2}=\delta _{A}\mathrm {d} _{A}\Phi .}$

Für ein offenes Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ sind zwei ${\displaystyle C^{1}}$-Abbildungen ${\displaystyle \alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ und ${\displaystyle \varphi \colon I\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ (also stetig differenzierbar) mit:^[3][4]

${\displaystyle \alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}-[\varphi (t),\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)]}$

${\displaystyle \varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\delta _{\alpha (t)}\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)}$

ein Yang-Mills-Higgs-Fluss.

• Für eine Yang-Mills-Higgs-Paar ${\displaystyle (A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Higgs-Fluss.
• Für einen Yang-Mills-Higgs-Fluss ${\displaystyle (\alpha ,\varphi )\colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ gilt:

${\displaystyle (\operatorname {YMH} \circ (\alpha ,\varphi ))'(t)=-\int _{X}\|\alpha '(t)\|^{2}+\|\varphi '(t)\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}\leq 0.}$

${\displaystyle \operatorname {YMH} \circ (\alpha ,\varphi )\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ ist also eine monoton sinkende Funktion. Da die Yang-Mills-Higgs-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Higgs-Fluss zwangsläufig gegen verschwindende Ableitung und daher nach obiger Gleichung ei Yang-Mills-Higgs-Paar konvergieren.

• Für ein Paar ${\displaystyle (A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss ${\displaystyle (\alpha ,\varphi )\colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ mit ${\displaystyle (\alpha (0),\varphi (0))=(A,\Phi )}$. Dabei ist ${\displaystyle (\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t),\lim _{t\rightarrow \infty }\varphi (t))}$ ein Yang-Mills-Higgs-Paar.
• Für ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar ${\displaystyle (A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss ${\displaystyle (\alpha ,\varphi )\colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ mit Anfangsbedingung darin gilt:

  ${\displaystyle A=\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t);}$

  ${\displaystyle \Phi =\lim _{t\rightarrow \infty }\varphi (t).}$

Eine Verallgemeinerung des Yang-Mills-Higgs-Flusses ist der Ginsburg-Landau-Fluss, benannt nach Witali Ginsburg und Lew Landau, mit einem zusätzlichen Potentialterm für das Higgs-Feld

• Pan Zhang: Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 30. März 2020; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2004.00420). 
• Changpeng Pan, Zhenghan Shen, Pan Zhang: The Limit of the Yang-Mills-Higgs Flow for twisted Higgs pairs. 4. Januar 2023; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2301.02552). 

• Yang-Mills-Fluss
• Seiberg-Witten-Fluss

• Yang-Mills-Higgs flow auf nLab (englisch)

1. ↑ Zhang 2020, Gl. (1.1)
2. ↑ Changpeng, Zhenghan & Zhang 2023, Gl. (1.2)
3. ↑ Zhang 2020, Gl. (1.3)
4. ↑ Changpeng, Zhenghan & Zhang 2023, Gl. (1.4)