Schwere, Elektricität und Magnetismus:143

${\displaystyle \left\lbrace r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}-\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}\right\rbrace \sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ ${\displaystyle =-{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$

Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist ${\displaystyle r\,\sin \theta \,dr\,d\varphi }$ und resp. ${\displaystyle r\,\sin(\theta +d\theta )\,dr\,d\varphi }$. Für die eine ist ${\displaystyle N={\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}}$, für die andere ${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\right)_{\theta +d\theta }}$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral

${\displaystyle \left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta -\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta \right)_{\theta +d\theta }\right\rbrace r\,dr\,d\varphi }$ ${\displaystyle =-{\frac {\partial \left({\frac {\partial V}{\partial \theta }}\sin \theta \right)}{\partial \theta }}dr\,d\theta \,d\varphi .}$

 Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt ${\displaystyle r\,dr\,d\theta }$. Für die eine ist ${\displaystyle N={\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}}$, für die andere ${\displaystyle N=\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }}$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag

${\displaystyle \left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}-\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }\right\rbrace r\,dr\,d\theta }$ ${\displaystyle =-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}dr\,d\theta \,d\varphi .}$

 Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):

${\displaystyle -dr\,d\theta \,d\varphi \left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta +{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace .}$

Auf der rechten Seite ist

${\displaystyle M=\rho \,r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$

Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch ${\displaystyle -r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }$, so ergibt sich:

(3)

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace =-4\,\pi \,\rho .}$