Schwere, Elektricität und Magnetismus:144

Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:

(4)

${\displaystyle {\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$

Fortsetzung: Die Function ${\displaystyle U\,}$.

 Soll zunächst die Function ${\displaystyle V\,}$ für irgend einen Punkt ${\displaystyle (r',\,\theta ',\,\varphi ')}$ im Innern der Kugel vom Radius ${\displaystyle a\,}$ hergestellt werden ${\displaystyle (r'<a)\,}$, so handelt es sich nach Green's Methode darum, eine Function ${\displaystyle U\,}$ ausfindig zu machen, die den folgenden Bedingungen Genüge leistet:

(1)

${\displaystyle {\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}=0}$

im Innern der Kugel vom Radius ${\displaystyle a\,(r<a);}$

(2)	${\displaystyle U=0\,}$ in der Oberfläche ${\displaystyle a\,(r=a);}$

(3)	${\displaystyle U=\infty }$ im Punkte ${\displaystyle (r',\,\theta ',\,\varphi '),}$

wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte.

 Die partielle Differentialgleichung (1) lässt sich durch eine andere ersetzen, wenn man eine Function ${\displaystyle u\,}$ einführt durch die Gleichung:

(4)	${\displaystyle U=r^{-{\frac {1}{2}}}u}$

und ${\displaystyle \lg r\,}$ als Variable nimmt statt ${\displaystyle r\,}$. Es ist nemlich

${\displaystyle r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}=r\,{\frac {\partial U}{\partial \lg r}},}$

folglich

${\displaystyle {\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}+{\frac {\partial U}{\partial \lg r}}.}$

 Aus der Gleichung (4) findet sich durch Differentiation

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial \lg r}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}-{\frac {1}{2}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}u,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}+{\frac {1}{4}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}\,u.}$