Schwere, Elektricität und Magnetismus:209

Die Function ${\displaystyle V'\!}$ kann in doppelter Weise aufgefasst werden, je nachdem man ${\displaystyle \eta \!}$ oder ${\displaystyle \zeta \!}$ als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also

(5)	${\displaystyle V'=\varphi (\eta )=\chi (\zeta ).\!}$

Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:

(6)	${\displaystyle \varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)\,-g=-\eta \,\lbrace \varphi (\eta )-g\rbrace ,}$

(7)	${\displaystyle \chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)\,-h=-\zeta \,\lbrace \chi (\zeta )-h\rbrace .}$

Aus (5), (6) und (7) folgt

(8)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}+g-{\frac {h}{\zeta }}-h.}$

Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu können, zerlegen wir jede der beiden Functionen ${\displaystyle \varphi \!}$ und ${\displaystyle \chi \!}$ in zwei Bestandtheile

(9)	${\displaystyle \varphi (\eta )=\varphi _{1}(\eta )+\varphi _{2}(\eta ),\!}$

(10)	${\displaystyle \chi (\zeta )=\chi _{1}(\zeta )+\chi _{2}(\zeta ),\!}$

und setzen fest, dass

${\displaystyle \varphi _{1}(\eta )=\chi _{1}(\zeta ),\!}$

${\displaystyle \varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta ),\!}$

sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn

(11)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {g}{\eta }}\,-g={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)}$

(12)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{2}\left({\frac {1}{\eta }}\right)={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{2}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-\,{\frac {h}{\zeta }}-h}$

gesetzt wird. Da ${\displaystyle \varphi \!}$ eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich

(13)	${\displaystyle \varphi _{1}(\eta )=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\eta +q_{k}}},\,}$

und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten ${\displaystyle p\!}$ und ${\displaystyle q\!}$ zu bestimmen. Nach der über ${\displaystyle \chi _{1}\!}$ getroffenen Bestimmung ist

(14)	${\displaystyle \chi _{1}(\zeta )=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}\,\zeta \right)+q_{k}}}.\,}$