Schwere, Elektricität und Magnetismus:210

 Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}+q_{k}\,\eta }},\\\,\\{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\zeta -\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}\\&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\left({\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}\,\eta \right)-\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}.\\\end{aligned}}}$

 Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das ${\displaystyle k\!}$te Glied in der Entwicklung von ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)}$ gleich dem ${\displaystyle (k+1)\!}$ten Gliede in der Entwicklung von ${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)}$ ist. Dann erhält man

(15)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=\,{\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}.\,}$

 Damit dies zu Stande komme, hat man

(16)	${\displaystyle {\begin{aligned}&p_{k+1}=p_{k}\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}+q_{k}\,{\frac {c}{b}}\\\,\\&q_{k+1}=-\,{\frac {1}{b}}\,(p_{k}c+q_{k}a)\\\end{aligned}}}$

zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt ${\displaystyle k\!}$ nicht explicite vor. Wir schreiben deshalb

${\displaystyle {\begin{aligned}&p_{k}={\mathfrak {P}}\alpha ^{k},\\\,\\&q_{k}={\mathfrak {Q}}\alpha ^{k}.\\\end{aligned}}}$

Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in

(17)	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathfrak {P}}\left(\alpha -\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}\right)={\mathfrak {Q}}\,{\frac {c}{b}},\,\\\,\\&{\mathfrak {Q}}\left(\alpha +\,{\frac {a}{b}}\right)=-{\mathfrak {P}}\,{\frac {c}{b}},\\\end{aligned}}}$

und wenn man ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\!}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {Q}}\!}$ eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von ${\displaystyle \alpha \!}$ die quadratische Gleichung

(18)	${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha \,{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}}+1=0.\,}$

Wir bezeichnen die Wurzeln mit ${\displaystyle \alpha _{1}\!}$ und ${\displaystyle \alpha _{2}\!}$, und bemerken, dass