Schwere, Elektricität und Magnetismus:211

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}&={\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}},\,\\\,\\\alpha _{1}\,\alpha _{2}&=1\\\end{aligned}}}$

ist. Da nun ${\displaystyle c>a+b\!}$ vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}\!}$ positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr Product ist ${\displaystyle =1\!}$), so muss ${\displaystyle \alpha _{1}>0\!}$ und ${\displaystyle \alpha _{2}>0\!}$ sein.

 Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich

${\displaystyle {\mathfrak {P}}=-{\frac {ab+a}{c}}\,{\mathfrak {Q}}.\,}$

Je nachdem wir die Wurzel ${\displaystyle \alpha _{1}\!}$ oder ${\displaystyle \alpha _{2}\!}$ nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für ${\displaystyle p_{k}\!}$ und ${\displaystyle q_{k}\!}$. Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich

(19)

${\displaystyle {\begin{aligned}&q_{k}={\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k}\\\,\\&p_{k}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k+1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k+1}).\\\end{aligned}}}$

Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten ${\displaystyle {\mathfrak {Q}}_{1}\!}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {Q}}_{2}\!}$ zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11) hervorgehen würde

${\displaystyle {\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g+{\frac {g}{\eta }}.\,}$

Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir können aber die Function ${\displaystyle \varphi _{1}(\eta )\!}$ wieder zerlegen:

(20)	${\displaystyle \varphi _{1}(\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta ),\,}$

und setzen dann, sofern ${\displaystyle \zeta \!}$ als unabhängige Variable eingeführt wird,

${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )=\chi _{11}(\zeta ),\quad \varphi _{12}(\eta )=\chi _{12}(\zeta ).\,}$

Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir setzen

(21)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=g,}$

(22)	${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}.\,}$

 Nimmt man nun zunächst für ${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )\!}$ die Entwicklung (13) vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21):