Schwere, Elektricität und Magnetismus:213

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=-\varphi _{11}(\eta )+{\frac {g}{\eta }},\\\,\\&{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=-\chi _{11}(\eta ),\\\end{aligned}}}$

und hieraus ergibt sich durch Subtraction

${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }},\,}$

d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man

${\displaystyle \varphi _{12}(\eta )=g-g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -\,{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}},\,}$

oder kürzer:

(26)	${\displaystyle \varphi _{12}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}}.\,}$

Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20) ein, so ist nun die Function ${\displaystyle \varphi _{1}(\eta )\!}$ vollständig bestimmt.

 Die Function ${\displaystyle \varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta )\!}$, welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile

(27)	${\displaystyle \varphi _{2}(\eta )=\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta )}$

und setzen, sofern ${\displaystyle \zeta \!}$ als unabhängige Variable eingeführt wird:

${\displaystyle \varphi _{21}(\eta )=\chi _{21}(\zeta ),\quad \varphi _{22}(\eta )=\chi _{22}(\zeta ).}$

Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :

(28)	${\displaystyle {\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{21}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{21}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=h,}$

(29)	${\displaystyle {\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{22}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{22}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=\,{\frac {h}{\zeta }}.\,}$

Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt man, dass ${\displaystyle \chi _{21}(\zeta )\!}$ aus ${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )\!}$ und ${\displaystyle \chi _{22}(\zeta )\!}$ aus ${\displaystyle \varphi _{12}(\eta )\!}$ hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also ${\displaystyle g\!}$ mit ${\displaystyle h\!}$, ${\displaystyle a\!}$ mit ${\displaystyle b\!}$, ${\displaystyle \eta \!}$ mit ${\displaystyle \zeta \!}$. Sobald die Ausdrücke für ${\displaystyle \chi _{21}(\zeta )\!}$ und für ${\displaystyle \chi _{22}(\zeta )\!}$ gefunden sind, ist nur für ${\displaystyle \zeta \!}$ an die Stelle zu setzen ${\displaystyle \,{\frac {c}{b}}\,-\,{\frac {a}{b}}\,\eta .}$