Schwere, Elektricität und Magnetismus:214

Dann hat man die Functionen ${\displaystyle \varphi _{21}(\eta )\!}$ und ${\displaystyle \varphi _{22}(\eta )\!}$. Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:

(30)	${\displaystyle \varphi _{21}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,{\frac {b}{c}}\,\eta -(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)}},\,}$

(31)	${\displaystyle \varphi _{22}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,\left({\frac {c^{2}-b^{2}}{ac}}-\eta \right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})}}.\,}$

 Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction

(32)	${\displaystyle \varphi (\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta )+\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta ).\,}$

 Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23), (26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das allgemeine Glied von der Form

${\displaystyle {\frac {1}{K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}},\,}$

und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung ${\displaystyle K_{1}\!}$ in allen Gliedern dasselbe, ebenso ${\displaystyle K_{2}\!}$. Dividirt man nun ein Glied durch das vorhergehende, so lautet der Quotient:

${\displaystyle {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}{K_{1}\alpha _{1}^{k+1}+K_{2}\alpha _{2}^{k+1}}}.\,}$

 Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}=1\!}$ ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen ${\displaystyle \alpha _{1}<1\!}$, folglich ${\displaystyle \alpha _{2}>1\!}$, und können den eben gewonnenen Quotienten so schreiben

${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}^{k}(K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2})}{\alpha _{2}^{k+1}(K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2})}}=\alpha _{1}\cdot {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2}}{K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2}}}.\,}$

Der Grenzwerth für ${\displaystyle k=\infty \!}$ ist ${\displaystyle \alpha _{1}\!}$. Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.

 Wir betrachten zunächst die Function ${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )\!}$, welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der