Schwere, Elektricität und Magnetismus:215

Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen

${\displaystyle \alpha _{1}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{1}}{c}}\,\eta \right)-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{2}}{c}}\,\eta \right)}$

oder kürzer

(1)	${\displaystyle \alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}(1-\lambda _{2}\,\eta ).\,}$

Hier sieht man ohne weiteres, dass ${\displaystyle \lambda _{2}>\lambda _{1}\!}$ ist, denn wir haben ${\displaystyle \alpha _{2}>\alpha _{1}\!}$ genommen. Bilden wir nun das Product ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\!}$, so findet sich:

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}={\frac {(a+b\,\alpha _{1})(a+b\,\alpha _{2})}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})+b^{2}\alpha _{1}\alpha _{2}}{c^{2}}}.\,}$

Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber ${\displaystyle a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2})\!}$ und ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}=1\!}$. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:

(2)	${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1.\,}$

Beide Grössen ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$ sind positiv und ${\displaystyle \lambda _{2}>\lambda _{1}\!}$, folglich muss ${\displaystyle \lambda _{2}>1\!}$ und ${\displaystyle \lambda _{1}<1\!}$ sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden

(3)	${\displaystyle \alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right).\,}$

Nehmen wir ${\displaystyle \eta \geq 1\!}$, so ist

${\displaystyle \alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)\,}$

jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1>\lambda _{1}\,\eta -1\,}$

und

${\displaystyle \alpha _{2}^{k}>\alpha _{1}^{k},\,}$

folglich

${\displaystyle \alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)>\alpha _{1}^{k}(\lambda _{1}\,\eta -1)\,}$

oder, was dasselbe ist:

${\displaystyle \alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right)>0.\,}$

Es kann also für ${\displaystyle \eta \geq 1\!}$ der Nenner des allgemeinen Gliedes in ${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )\!}$ nicht Null und deshalb ${\displaystyle \varphi _{11}(\eta )\!}$ nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von ${\displaystyle \varphi _{22}(\eta )\!}$ beweisen. In entsprechender Weise