Schwere, Elektricität und Magnetismus:342

Wirkung sämmtlicher Theilchen ${\displaystyle \varepsilon '\,}$ auf ein Theilchen ${\displaystyle \varepsilon \,}$. Riemann’s Gesetz.

 Um die Wirkung sämmtlicher elektrischer Theilchen ${\displaystyle \varepsilon '\,}$ auf das eine Theilchen ${\displaystyle \varepsilon \,}$ zu untersuchen, haben wir zu setzen

(1)	${\displaystyle S=\varepsilon \sum \left(-{\frac {\varepsilon '}{r}}\right)=\varepsilon V,}$

wenn V die elektrostatische Potentialfunction der Theilchen ${\displaystyle \varepsilon '\,}$ auf den Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ bezeichnet. Was ${\displaystyle D\,}$ betrifft, so sind die beiden Hypothesen (§§. 96 u. 98) zu unterscheiden. Nach Weber’s Formel ist

(2a)	${\displaystyle D=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2};}$

nach Riemann’s Formel dagegen

(2b)	${\displaystyle D=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.\,}$

Wir wollen die letztgenannte zuerst behandeln. Werden in (2^b) die Quadrate ausgerechnet, so zerlegt sich D in drei Bestandtheile, nemlich:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }\\&+\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }\\&-2\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }{\frac {dx}{dt}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy_{1}}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {dz_{1}}{dt}}{\Bigg \rbrace }.\\\end{aligned}}}$

Bezeichnen wir die Geschwindigkeit des Teilchens ${\displaystyle \varepsilon \,}$ mit ${\displaystyle v\,}$, die Geschwindigkeit des Theilchens ${\displaystyle \varepsilon '\,}$ mit ${\displaystyle v'\,}$, so lässt sich kürzer schreiben:

${\displaystyle {\begin{aligned}D={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}&v^{2}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}\\-2&{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }{\frac {dx}{dt}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy_{1}}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {dz_{1}}{dt}}{\Bigg \rbrace }.\\=&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dy}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dy_{1}}{dt}}\,\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dz}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dz_{1}}{dt}}.\,\\\end{aligned}}}$