Schwere, Elektricität und Magnetismus:343

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 329
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Wirkung sämmtlicher Theilchen

\varepsilon '\,

auf ein Theilchen

\varepsilon \,

.

Zur Abkürzung wollen wir setzen

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}=W,$

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=u_{1},$

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=u_{2},$

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=u_{3}.$

Dann haben wir

(3)	$D=-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}W-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\left(u_{1}{\frac {dx}{dt}}+u_{2}{\frac {dy}{dt}}+u_{3}{\frac {dz}{dt}}\right).$

Die Functionen $V,\,W,\,u1,\,u2,\,u3,\,$ genügen der Gleichung von Laplace, folglich auch $D\,$ , insofern es von $x,\,y,\,z$ abhängig ist:

(4)	${\frac {\partial ^{2}D}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial z^{2}}}=0.$

Wir wollen noch die Aenderung von $V\,$ herstellen, die in dem Zeitelement $dt\,$ dadurch zu Stande kommt, dass die Theilchen $\varepsilon '\,$ sich bewegen, und $x,\,y,\,z$ constant genommen werden. Es findet sich

{\frac {\partial V}{\partial t}}=-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}.

Nun haben wir aber

{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},

folglich

-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}},

und ebenso

-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {dy_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial y}},

-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {dz_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}.