3x3-Matrix/Basis/Jordan-Matrix/Aufgabe

Es sei eine ${\displaystyle {}3\times 3}$-Matrix der Form

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}d&a&b\\0&d&c\\0&0&d\end{pmatrix}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,c\neq 0}$ gegeben. Wir betrachten die Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ac\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

a) Begründe, dass diese Vektoren eine Basis des ${\displaystyle {}K^{3}}$ bilden.

b) Es sei

${\displaystyle \varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3}}$

die durch ${\displaystyle {}M}$ bezüglich der Standardbasis gegebene lineare Abbildung. Erstelle die Matrix, die ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der neuen Basis beschreibt.