3x3-Matrix/Basis/Jordan-Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Wegen

${\displaystyle {}ac\neq 0\,}$

sind die drei Vektoren in Stufenform mit von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Diagonalelementen, deshalb liegt eine Basis vor.

b) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}d&a&b\\0&d&c\\0&0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ac\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}dac\\0\\0\end{pmatrix}}=d{\begin{pmatrix}ac\\0\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}d&a&b\\0&d&c\\0&0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\c\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}db+ac\\dc\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac\\0\\0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}b\\c\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}d&a&b\\0&d&c\\0&0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\c\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\c\\0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,.}$

Bezüglich dieser Basis ist die beschreibende Matrix gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&1&0\\0&d&1\\0&0&d\end{pmatrix}}.}$