3x3-Matrizen/Fester Kern/Untervektorraum/Dimension/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${\displaystyle {}v}$ der Vektor. Für Matrizen ${\displaystyle {}M,N}$ mit

${\displaystyle {}Mv=Nv=0\,}$

gilt direkt

${\displaystyle {}{\left(aM+bN\right)}(v)=0\,.}$

b) Die Matrixbedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}=0\,}$

bedeutet, dass ${\displaystyle {}U}$ durch die drei linearen Gleichungen

${\displaystyle {}6x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=0\,,}$

${\displaystyle {}6y_{1}-7y_{2}+9y_{3}=0\,,}$

${\displaystyle {}6z_{1}-7z_{2}+9z_{3}=0\,}$

beschrieben wird. Die Gleichungen sind linear unabhängig, da sie auf verschiedene Variablen Bezug nehmen. Also ist die Dimension von ${\displaystyle {}U}$ gleich

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=9-3=6\,.}$