4x4-Matrix/Blockmatrix/Cayley-Hamilton/Aufgabe/Lösung
<
4x4-Matrix/Blockmatrix/Cayley-Hamilton/Aufgabe
a) Es ist
χ
M
=
det
(
(
X
0
0
0
0
X
0
0
0
0
X
0
0
0
0
X
)
−
(
2
3
0
0
4
1
0
0
0
0
5
−
2
0
0
1
3
)
)
=
det
(
X
−
2
−
3
0
0
−
4
X
−
1
0
0
0
0
X
−
5
2
0
0
−
1
X
−
3
)
=
(
(
X
−
2
)
(
X
−
1
)
−
12
)
⋅
(
(
X
−
5
)
(
X
−
3
)
+
2
)
=
(
X
2
−
3
X
−
10
)
⋅
(
X
2
−
8
X
+
17
)
=
X
4
−
11
X
3
+
31
X
2
+
29
X
−
170.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&-3&0&0\\-4&X-1&0&0\\0&0&X-5&2\\0&0&-1&X-3\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-2\right)}{\left(X-1\right)}-12\right)}\cdot {\left({\left(X-5\right)}{\left(X-3\right)}+2\right)}\\&={\left(X^{2}-3X-10\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\\&=X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170.\end{aligned}}}
b) Es ist
M
2
=
(
2
3
0
0
4
1
0
0
0
0
5
−
2
0
0
1
3
)
(
2
3
0
0
4
1
0
0
0
0
5
−
2
0
0
1
3
)
=
(
16
9
0
0
12
13
0
0
0
0
23
−
16
0
0
8
7
)
,
{\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}\,,}
M
3
=
(
2
3
0
0
4
1
0
0
0
0
5
−
2
0
0
1
3
)
(
16
9
0
0
12
13
0
0
0
0
23
−
16
0
0
8
7
)
=
(
68
57
0
0
76
49
0
0
0
0
99
−
94
0
0
47
5
)
,
{\displaystyle {}M^{3}={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}68&57&0&0\\76&49&0&0\\0&0&99&-94\\0&0&47&5\end{pmatrix}}\,,}
M
4
=
(
16
9
0
0
12
13
0
0
0
0
23
−
16
0
0
8
7
)
(
16
9
0
0
12
13
0
0
0
0
23
−
16
0
0
8
7
)
=
(
364
261
0
0
348
277
0
0
0
0
401
−
480
0
0
240
−
79
)
.
{\displaystyle {}M^{4}={\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}364&261&0&0\\348&277&0&0\\0&0&401&-480\\0&0&240&-79\end{pmatrix}}\,.}
c) Es ist
χ
M
(
M
)
=
(
X
4
−
11
X
3
+
31
X
2
+
29
X
−
170
)
(
M
)
=
M
4
−
11
M
3
+
31
M
2
+
29
M
−
170
E
4
=
(
364
261
0
0
348
277
0
0
0
0
401
−
480
0
0
240
−
79
)
−
11
(
68
57
0
0
76
49
0
0
0
0
99
−
94
0
0
47
5
)
+
31
(
16
9
0
0
12
13
0
0
0
0
23
−
16
0
0
8
7
)
+
29
(
2
3
0
0
4
1
0
0
0
0
5
−
2
0
0
1
3
)
−
170
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\chi _{M}(M)\\&={\left(X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170\right)}(M)\\&=M^{4}-11M^{3}+31M^{2}+29M-170E_{4}\\&={\begin{pmatrix}364&261&0&0\\348&277&0&0\\0&0&401&-480\\0&0&240&-79\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}68&57&0&0\\76&49&0&0\\0&0&99&-94\\0&0&47&5\end{pmatrix}}+31{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}+29{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}-170{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
