A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel

Die binomiale Gleichung ${\displaystyle {}XY=Z^{n}}$ definiert eine algebraische Fläche

${\displaystyle {}V(XY-Z^{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,}$

über jedem Körper ${\displaystyle {}K}$. Die Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle \left(Y,\,X,\,nZ^{n-1}\right).}$

Bei ${\displaystyle {}n=1}$ ist dies überall glatt, bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ liegt im Nullpunkt eine isolierte Singularität vor. Man spricht von den ${\displaystyle {}A_{n-1}}$-Singularitäten (die Indizierung ist so gewählt, dass ${\displaystyle {}A_{1}}$ schon eine Singularität ist). Das Polynom ${\displaystyle {}Z^{n}-XY\in K[X,Y,Z]}$ ist irreduzibel, für ${\displaystyle {}n}$ prim ergibt sich dies aus Aufgabe. Der Quotientenkörper von ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}}$ ist der rationale Funktionenkörper ${\displaystyle {}K(X,Z)}$, da man

${\displaystyle {}Y=Z^{n}/X\,}$

ausdrücken kann.