Abbildung/Injektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}T={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt }}x\in L{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}T}$ sämtliche Elemente aus ${\displaystyle {}M}$ enthält, die überhaupt unter ${\displaystyle {}\varphi }$ getroffen werden, kann man ${\displaystyle {}\varphi }$ als eine Abbildung

${\displaystyle \varphi '\colon L\longrightarrow T,\,x\longmapsto \varphi (x),}$

auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus ${\displaystyle {}T}$ nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}\varphi '}$, da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist ${\displaystyle {}\varphi '}$ bijektiv.