Cayley-Hamilton/3541/Aufgabe/Lösung
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Cayley-Hamilton/3541/Aufgabe
a) Das charakteristische Polynom ist
det
(
(
X
0
0
X
)
−
(
3
5
4
1
)
)
=
det
(
X
−
3
−
5
−
4
X
−
1
)
=
(
X
−
3
)
(
X
−
1
)
−
20
=
X
2
−
4
X
−
17.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&-5\\-4&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X-3)(X-1)-20\\&=X^{2}-4X-17.\end{aligned}}}
b) Es ist
M
2
=
(
3
5
4
1
)
(
3
5
4
1
)
=
(
29
20
16
21
)
.
{\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}\,.}
Daher ist
(
X
2
−
4
X
−
17
)
(
M
)
=
M
2
−
4
M
−
17
E
2
=
(
29
20
16
21
)
−
4
(
3
5
4
1
)
−
17
(
1
0
0
1
)
=
(
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(X^{2}-4X-17\right)}(M)&=M^{2}-4M-17E_{2}\\&={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}-17{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
