Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/3/Überprüfe/Aufgabe/Lösung
<
Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/3/Überprüfe/Aufgabe
a) Das charakteristische Polynom ist
det
(
(
X
0
0
0
X
0
0
0
X
)
−
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
)
=
det
(
X
−
2
0
2
−
5
X
−
3
+
i
0
−
i
−
3
X
−
4
)
=
(
X
−
2
)
(
X
−
3
+
i
)
(
X
−
4
)
+
2
(
15
+
i
(
X
−
3
+
i
)
)
=
X
3
+
(
−
2
−
3
+
i
−
4
)
X
2
+
(
6
−
2
i
+
8
+
12
−
4
i
+
2
i
)
X
+
8
(
−
3
+
i
)
+
30
+
2
i
(
−
3
+
i
)
=
X
3
+
(
−
9
+
i
)
X
2
+
(
26
−
4
i
)
X
+
4
+
2
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&0&2\\-5&X-3+{\mathrm {i} }&0\\-{\mathrm {i} }&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-2\right)}{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}{\left(X-4\right)}+2{\left(15+{\mathrm {i} }{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&=X^{3}+{\left(-2-3+{\mathrm {i} }-4\right)}X^{2}+{\left(6-2{\mathrm {i} }+8+12-4{\mathrm {i} }+2{\mathrm {i} }\right)}X+8{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}+30+2{\mathrm {i} }{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}\\&=X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}}
b) Es ist
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
2
=
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
=
(
4
−
2
i
−
6
−
12
25
−
5
i
8
−
6
i
−
10
15
+
6
i
21
−
3
i
16
−
2
i
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Es ist
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
3
=
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
(
4
−
2
i
−
6
−
12
25
−
5
i
8
−
6
i
−
10
15
+
6
i
21
−
3
i
16
−
2
i
)
=
(
−
22
−
16
i
−
54
+
6
i
−
56
+
4
i
90
−
50
i
−
12
−
26
i
−
90
+
10
i
137
+
13
i
108
−
36
i
34
−
20
i
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
c) Es ist
(
X
3
+
(
−
9
+
i
)
X
2
+
(
26
−
4
i
)
X
+
4
+
2
i
)
(
M
)
=
M
3
+
(
−
9
+
i
)
M
2
+
(
26
−
4
i
)
M
+
(
4
+
2
i
)
E
3
=
(
−
22
−
16
i
−
54
+
6
i
−
56
+
4
i
90
−
50
i
−
12
−
26
i
−
90
+
10
i
137
+
13
i
108
−
36
i
34
−
20
i
)
+
(
−
9
+
i
)
(
4
−
2
i
−
6
−
12
25
−
5
i
8
−
6
i
−
10
15
+
6
i
21
−
3
i
16
−
2
i
)
+
(
26
−
4
i
)
(
2
0
−
2
5
3
−
i
0
i
3
4
)
+
(
4
+
2
i
)
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }\right)}(M)\\&=M^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}M^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}M+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}E_{3}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
