Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Verfeinerung/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Die Injektivität wurde in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${\displaystyle {}c\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})}$. Es sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$

injektiv. Die Kohomologieklasse ${\displaystyle {}c}$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt ${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\right)}}$. Für diesen gibt es eine offene Überdeckung

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,}$

und Schnitte ${\displaystyle {}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}}$ derart, dass ${\displaystyle {}s_{i}}$ unter der Quotientenabbildung auf ${\displaystyle {}s{|}_{U_{i}}}$ abbildet. Dann ist die Familie ${\displaystyle {}s_{i}-s_{j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}}$, ${\displaystyle {}(i,j)}$, ein erster Čech-Kozykel von ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf ${\displaystyle {}c}$ ab.