Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweis

Es sei

${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}]\,}$

mit ${\displaystyle {}\theta _{i}}$ algebraisch unabhängig, und es sei ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(\theta _{i})=d_{i}}$. Es sei ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung des Satzes von Chevalley-Shephard-Todd wissen wir bereits

${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{H}=K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}]\supseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,}$

mit ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(\psi _{j})=e_{j}}$ und ${\displaystyle {}\psi _{j}}$ algebraisch unabhängig. Jedes ${\displaystyle {}\theta _{i}}$ ist ein Polynom in den ${\displaystyle {}\psi _{j}}$. Wir können annehmen, dass beide Polynomfamilien nach aufsteigendem Grad geordnet sind, es ist also ${\displaystyle {}d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{n}}$ und ${\displaystyle {}e_{1}\leq e_{2}\leq \ldots \leq e_{n}}$. Dabei muss

${\displaystyle {}e_{i}\leq d_{i}\,}$

für alle ${\displaystyle {}i}$ gelten, da andernfalls nach Aufgabe

${\displaystyle {}K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{i}]\subseteq K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{i-1}]\,}$

gelten würde, was aber wegen der algebraischen Unabhängigkeit der Familien nicht sein kann. Es sei ${\displaystyle {}r}$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${\displaystyle {}G}$ und in ${\displaystyle {}H}$. Nach Fakt ist

${\displaystyle {}r=\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)=\sum _{i=1}^{n}(e_{i}-1)\,.}$

Daher muss ${\displaystyle {}e_{i}=d_{i}}$ gelten. Damit ist aber

${\displaystyle {}\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}=e_{1}\cdots e_{n}=\vert {H}\vert \,}$

und damit

${\displaystyle {}H=G\,.}$