Dezimalentwicklung/Rekursionsschema/Beziehung/Aufgabe/Lösung

Für ${\displaystyle {}k=0}$ ist die Aussage richtig, da dann die linke Summe leer ist und ${\displaystyle {}s_{0}=x}$ ist. Es sei die Aussage für ein ${\displaystyle {}k}$ richtig. Dann gelten unter Verwendung der Rekursionsvorschrift

${\displaystyle {}s_{k+1}=10s_{k}-z_{k+1}\,}$

die Gleichheiten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+s_{k}10^{-k}\\&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10\cdot s_{k}\cdot 10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+{\left(z_{k+1}+10s_{k}-z_{k+1}\right)}10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}z_{i}10^{-i}+z_{k+1}10^{-k-1}+{\left(10s_{k}-z_{k+1}\right)}10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}z_{i}10^{-i}+s_{k+1}10^{-k-1}.\end{aligned}}}$