Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}}$ eine offene Menge und sei ${\displaystyle {}Y\subseteq V\times \mathbb {R} }$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion

${\displaystyle f\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Dann ist die Weingartenabbildung ${\displaystyle {}L_{P}}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\in Y}$ (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) durch ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\operatorname {Hess} _{}\,f}$ gegeben, wobei ${\displaystyle {}\operatorname {Hess} _{}\,f}$ die Hesse-Matrix zu ${\displaystyle {}f}$ bezeichnet und wenn man Grundvektoren ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n-1}}$ mit den Tangentialvektoren aus ${\displaystyle {}T_{P}Y}$ im Sinne von Beispiel identifiziert.