Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt/Beweis

Wir knüpfen an Beispiel an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch

${\displaystyle N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\,}$

gegeben. Wir betrachten den Weg

${\displaystyle {}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\,}$

auf dem Graphen zum Grundvektor ${\displaystyle {}v}$. Die zweite Ableitung davon ist

${\displaystyle {}\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}}\,.}$

Nach Fakt ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle L_{P}(\gamma '(0)),\gamma '(0)\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left\langle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\frac {\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)\operatorname {Hess} _{}\,f{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}$

Das bedeutet, dass die nach Fakt symmetrische Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle L_{P}(-),-\right\rangle }$ im Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}Y}$ mit der durch die (durch den Vorfaktor) skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n-1}}$ übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach Fakt stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen ${\displaystyle {}L_{P}}$ und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.