Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}V=U\oplus W}$ die direkte Summe der ${\displaystyle {}K}$-Untervektorräume ${\displaystyle {}U,W\subseteq V}$. Es seien ${\displaystyle {}\psi \colon U\rightarrow U}$ und ${\displaystyle {}\theta \colon W\rightarrow W}$ lineare Abbildungen, die sich zur linearen Abbildung

${\displaystyle \varphi =\psi \oplus \theta \colon V\longrightarrow V}$

zusammensetzen. Es ist also

${\displaystyle {}\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,,}$

wobei ${\displaystyle {}v=u+w}$ die eindeutige Zerlegung von ${\displaystyle {}v}$ mit ${\displaystyle {}u\in U}$ und ${\displaystyle {}w\in W}$ ist. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \oplus \theta \right)}=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\,.}$