Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es seien ${\displaystyle {}u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}}$ und ${\displaystyle {}w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}}$. Dann gilt für ${\displaystyle {}v=u+w}$

${\displaystyle {}\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)=\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v\,,}$

also ist ${\displaystyle {}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}}$. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}}$ mit der kanonischen Zerlegung

${\displaystyle {}v=u+w\,}$

mit ${\displaystyle {}u\in U}$ und ${\displaystyle {}w\in W}$ gilt, so ist

${\displaystyle {}\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v=\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,.}$

Da dieses Element eine eindeutige Zerlegung in ${\displaystyle {}U\oplus W}$ besitzt, muss ${\displaystyle {}\psi (u)=\lambda u}$ und ${\displaystyle {}\theta (w)=\lambda w}$ sein. Also ist ${\displaystyle {}u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}}$ und ${\displaystyle {}w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}}$ und somit ${\displaystyle {}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}}$. Wegen ${\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\subseteq U}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\subseteq W}$