Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle +:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R}$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${\displaystyle {}0,1\in R}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in R}$ gilt: ${\displaystyle {}(a+b)+c=a+(b+c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in R}$ gilt ${\displaystyle {}a+b=b+a}$.
   3. ${\displaystyle {}0}$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in R}$ ist ${\displaystyle {}a+0=a}$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in R}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}b\in R}$ mit ${\displaystyle {}a+b=0}$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in R}$ gilt: ${\displaystyle {}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
   2. ${\displaystyle {}1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in R}$ ist ${\displaystyle {}a\cdot 1=1\cdot a=a}$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in R}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ und ${\displaystyle {}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$.

${\displaystyle \psi \colon G\longrightarrow H}$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${\displaystyle {}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,}$

für alle ${\displaystyle {}g,g'\in G}$ gilt.