Dreieck/0 und 1 fixiert/Höhenschnittpunkt/Aufgabe/Lösung

a) Die Höhe durch ${\displaystyle {}C}$ ist einfach die durch die Gleichung ${\displaystyle {}x=r}$ gegebene Gerade, der Höhenfußpunkt ist also ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}}}$.

b) Die Gerade zur Seite zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}C}$ wird direkt durch den Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}}$ beschrieben. Dazu senkrecht steht ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}}$. Die Höhengerade durch ${\displaystyle {}B}$ besitzt somit die Form

${\displaystyle {\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.}$

Die Bedingung für den Höhenfußpunkt ist demnach

${\displaystyle {}u{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}\,,}$

was zum linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {}ru+ts=1\,}$

${\displaystyle {}us-tr=0\,}$

führt. Die zweite Gleichung führt auf ${\displaystyle {}u=\lambda r}$ und ${\displaystyle {}t=\lambda s}$ und somit

${\displaystyle {}\lambda r^{2}+\lambda s^{2}=1\,,}$

also

${\displaystyle {}\lambda ={\frac {1}{r^{2}+s^{2}}}\,.}$

Der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${\displaystyle {}B}$ ist deshalb

${\displaystyle {\frac {r}{r^{2}+s^{2}}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}.}$

c) Die Bedingung für den Höhenschnittpunkt ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\z\end{pmatrix}}\,.}$

Die erste Zeile führt zu

${\displaystyle {}t={\frac {1-r}{s}}\,}$

und damit ist der Höhenschnittpunkt gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r\\{\frac {r-r^{2}}{s}}\end{pmatrix}}.}$