Dreieck/Umkreisradius und Inkreisradius/Verhältnis/Hinweise/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {R}{r}}&={\frac {\frac {abc}{4A}}{\frac {A}{s}}}\\&={\frac {sabc}{4A^{2}}}\\&={\frac {sabc}{4s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\frac {abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Wir setzen

${\displaystyle {}u=s-a\,,}$

${\displaystyle {}v=s-b\,,}$

${\displaystyle {}w=s-c\,.}$

Es ist dann

${\displaystyle {}v+w=s-b+s-c=(a+b+c)-b-c=a\,}$

und ebenso ist

${\displaystyle {}b=u+w\,}$

und

${\displaystyle {}c=u+v\,.}$

Mit diesen Bezeichnungen geht es um den Ausdruck

${\displaystyle {\frac {(v+w)(u+w)(u+v)}{4uvw}}.}$

Wir schreiben dies als

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {(v+w)(u+w)(u+v)}{4uvw}}&={\frac {(v+w)(u+w)(u+v)}{4{\sqrt {uv}}{\sqrt {uw}}{\sqrt {vw}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\frac {v+w}{\sqrt {vw}}}\cdot {\frac {u+v}{\sqrt {uv}}}\cdot {\frac {u+w}{\sqrt {uw}}}\\&=2{\frac {v+w}{2{\sqrt {vw}}}}\cdot {\frac {u+v}{2{\sqrt {uv}}}}\cdot {\frac {u+w}{2{\sqrt {uw}}}}.\end{aligned}}}$

Die Aussage fogt daher aus

${\displaystyle {}{\frac {v+w}{2{\sqrt {vw}}}}\geq 1\,,}$

was zu

${\displaystyle {}v+w\geq 2{\sqrt {vw}}\,}$

bzw. (da ${\displaystyle {}v,w}$ positiv sind) zu

${\displaystyle {}(v+w)^{2}=v^{2}+w^{2}+2vw\geq 4vw\,}$

äquivalent ist. Dies stimmt, wegen

${\displaystyle {}(v-w)^{2}=v^{2}+w^{2}-2vw\geq 0\,.}$