Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Test/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}\circ }$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

mit ${\displaystyle {}0:=(0,0)}$ und ${\displaystyle {}1:=(1,0)}$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${\displaystyle {}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,}$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

${\displaystyle {}H\subseteq G}$

${\displaystyle {}xH=Hx\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in G}$ ist.

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}Q(R)}$

${\displaystyle {}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,}$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}0\in V}$

${\displaystyle +\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,}$

und

${\displaystyle K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,}$

derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${\displaystyle {}r,s\in K}$ und ${\displaystyle {}u,v,w\in V}$ beliebig):

1. ${\displaystyle {}u+v=v+u}$,
2. ${\displaystyle {}(u+v)+w=u+(v+w)}$,
3. ${\displaystyle {}v+0=v}$,
4. Zu jedem ${\displaystyle {}v}$ gibt es ein ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}v+z=0}$,
5. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
6. ${\displaystyle {}r(u+v)=ru+rv}$,
7. ${\displaystyle {}(r+s)u=ru+su}$,
8. ${\displaystyle {}1\cdot u=u}$.