Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ . Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ . Dann gibt es eine kanonische ${}K$ -Algebraisomorphie
$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$