Elliptische Kurve/Zerlegungsform/Projektion/Verzweigung/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung besitzt den Grad ${\displaystyle {}2}$ und wird projektiv durch

${\displaystyle E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),}$

gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte ${\displaystyle {}\left(0,\,1,\,0\right),\,\left(\lambda _{1},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{2},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{3},\,0,\,1\right)}$. Wir verwenden Fakt und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird

${\displaystyle {}{\mathfrak {O}}=\left(0,\,1,\,0\right)\,}$

auf ${\displaystyle {}\left(0,\,1\right)}$ abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion ${\displaystyle {}x/z}$ hat jedenfalls in ${\displaystyle {}{\mathfrak {O}}}$ einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da ${\displaystyle {}V_{+}(Z)\cap E}$ nur aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {O}}}$ besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für

${\displaystyle {}x=\lambda _{i}\,}$

ist das kubische Polynom gleich ${\displaystyle {}0}$ und daher gibt es für ${\displaystyle {}y}$ nur die Möglichkeit

${\displaystyle {}y=0\,.}$

In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für

${\displaystyle {}x\neq \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,}$

${\displaystyle {}\neq 0}$

${\displaystyle {}\left(x,\,\pm {\sqrt {{\left(x-\lambda _{1}\right)}{\left(x-\lambda _{2}\right)}{\left(x-\lambda _{3}\right)}}}\right)}$