Endliche Punktmengen/Konstanter Abstand/Aufgabe

a) Man gebe zwei zweielementige Mengen ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2}\}}$ in der euklidischen Ebene an derart, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

b) Zeige, dass es in der euklidischen Ebene keine zweielementige Menge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und keine dreielementige Menge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

c) Zeige, dass es im euklidischen Raum eine zweielementige Menge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und, zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Menge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

d) Zeige, dass es im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ zu vorgegebenen ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} _{+}}$ eine ${\displaystyle {}m}$-elementige Teilmenge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}}$ und eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Teilmenge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.