Endliche Punktmengen/Konstanter Abstand/Aufgabe/Lösung

a) Es sei

${\displaystyle {}A=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\}\,}$

und

${\displaystyle {}B=\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}\}\,.}$

Der Abstand zwischen einem Punkt aus ${\displaystyle {}A}$ und einem Punkt aus ${\displaystyle {}B}$ ist stets ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$.

b) Es sei

${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}\,.}$

Die Menge

${\displaystyle {\left\{Q\mid d(Q,P_{1})=d(Q,P_{2})\right\}}}$

ist die Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke von ${\displaystyle {}P_{1}}$ und ${\displaystyle {}P_{2}}$, und insbesondere eine Gerade. Auf einer Geraden können aber nur zwei Punkte den gleichen euklidischen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt besitzen, da die Abstandsbedingung zur Schnittbedingung der Geraden mit einem Kreis wird.

c) Es sei

${\displaystyle {}A=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}\}\,.}$

Jeder Punkt der Ebene ${\displaystyle {}E}$, die durch ${\displaystyle {}x=0}$ gegeben ist (also die ${\displaystyle {}y-z}$-Ebene), besitzt zu den beiden Punkten aus ${\displaystyle {}A}$ den gleichen Abstand. Wir betrachten in der Ebene ${\displaystyle {}E}$ den Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius ${\displaystyle {}1}$. Dieser Kreis ergibt sich auch, wenn man die Kugeloberfläche mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ und dem Radius ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ mit der Ebene ${\displaystyle {}E}$ schneidet. Es sei nun ${\displaystyle {}B}$ eine beliebige Auswahl von ${\displaystyle {}n}$ Punkten auf diesem Kreis.

d) Es sei ${\displaystyle {}C}$ ein Kreis im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit den ${\displaystyle {}m}$ Punkten ${\displaystyle {}\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$ und ${\displaystyle {}D}$ ein Kreis im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit den ${\displaystyle {}n}$ Punkten ${\displaystyle {}\left(u_{j},\,v_{j}\right)}$, beide mit Radius ${\displaystyle {}1}$. Es sei

${\displaystyle {}A={\left\{{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\\0\\0\end{pmatrix}}\mid i=1,\ldots ,m\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,}$

und

${\displaystyle {}B={\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\u_{j}\\v_{j}\end{pmatrix}}\mid j=1,\ldots ,n\right\}}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}d{\left({\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\u_{j}\\v_{j}\end{pmatrix}}\right)}={\sqrt {x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+u_{j}^{2}+v_{j}^{2}}}={\sqrt {2}}\,}$

${\displaystyle {}A}$

${\displaystyle {}B}$