Endliche kommutative Algebra/Endlicher Modul/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k}}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ein ${\displaystyle {}S}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}M}$. Dann bilden die Produkte ${\displaystyle {}s_{i}v_{j}}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq k}$, ${\displaystyle {}1\leq j\leq n}$, ein ${\displaystyle {}R}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}M}$.