Endlicher Körper/Nichtinvertierbare 2x2-Matrizen/Aufgabe/Lösung

Die ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen haben die Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle {}x,y,z,w\in K}$. Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung

${\displaystyle {}xw-yz=0\,}$

ausdrücken. Wenn ${\displaystyle {}w=0}$ ist, so muss ${\displaystyle {}y=0}$ oder ${\displaystyle {}z=0}$ sein. Im ersten Fall gibt es für ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}z}$ jeweils ${\displaystyle {}q}$ Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ ebenfalls jeweils ${\displaystyle {}q}$ Möglichkeiten, allerdings darf man ${\displaystyle {}y=0}$ nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei ${\displaystyle {}w=0}$ insgesamt ${\displaystyle {}q^{2}+q(q-1)}$ Möglichkeiten. Es sei also ${\displaystyle {}w\neq 0}$. Dann gilt

${\displaystyle {}x={\frac {yz}{w}}\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}x}$ ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es ${\displaystyle {}(q-1)q^{2}}$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${\displaystyle {}{\begin{aligned}q^{2}+q(q-1)+(q-1)q^{2}&=q^{2}+q^{2}-q+q^{3}-q^{2}\\&=q^{3}+q^{2}-q\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}2\times 2}$