Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$

mit

${\displaystyle {}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.}$

Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${\displaystyle {}n}$-te Summand der Exponentialreihe von ${\displaystyle {}x+y}$ nach Fakt gleich

${\displaystyle {}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,}$