F 2/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${\displaystyle {}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

über dem Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$ mit zwei Elementen.

a) Bestimme die Punkte von ${\displaystyle {}V}$.

b) Bestimme den projektiven Abschluss von ${\displaystyle {}V}$.

c) Zeige, dass der projektive Abschluss von ${\displaystyle {}V}$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}+1}$ übereinstimmt.