Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Zu einem Primelement ${}p\in R$ in einem faktoriellen Bereich ${}R$ mit Quotientenkörper ${}Q(R)$

ist die Zuordnung

$Q(R)^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,{\frac {f}{g}}\longmapsto {\exp _{p}(f)}-{\exp _{p}(g)},$

ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

{}{\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,

eine weitere Darstellung, also

{}fq=hg\,.

Dann ist nach Fakt

{}{\exp _{p}(f)}+{\exp _{p}(q)}={\exp _{p}(fq)}={\exp _{p}(hg)}={\exp _{p}(h)}+{\exp _{p}(g)}\,,

woraus sich

{}{\exp _{p}(f)}-{\exp _{p}(g)}={\exp _{p}(h)}-{\exp _{p}(q)}\,

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.

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Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ .

Dann besitzt jedes Element ${}f\in K$ , ${}f\neq 0$ , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit ${}u\in R$ und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$ .

Beweis

Wir schreiben

{}f={\frac {a}{b}}\,

mit von ${}0$ verschiedenen Elementen ${}a,b\in R$ . Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien ${}a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und ${}b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$ , wobei die ${}p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, ${}m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und ${}u_{1},u_{2}$ Einheiten aus ${}R$ sind. Dann ist

{}{\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen

{}up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit ${}(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes ${}t$ , dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus ${}r_{i}=s_{i}$ für alle ${}i$ und damit auch ${}u=v$ .

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Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl ${}q=a/b$ eindeutig schreiben als

{}q=\pm p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}\,

mit Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ und Exponenten ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in \mathbb {Z}$ . Der multiplikative Übergang von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Q}$ entspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {Z}$ .

Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise ${}\mathbb {Z} ^{(I)}$ die Menge aller ${}I$ -Tupel mit Werten in ${}\mathbb {Z}$ , wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von ${}0$ verschieden sein dürfen.

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ . Es sei ${}p_{i}$ , ${}i\in I$ , ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von ${}R$ und sei ${}U$ die Einheitengruppe von ${}R$

Dann ist (wobei $u(q)$ die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)

$Q(R)^{\times }\longrightarrow U\times \mathbb {Z} ^{(I)},\,q\longmapsto (u(q),\operatorname {exp} _{p_{i}}^{}{\left(q\right)}),$

ein Gruppenisomorphismus mit der Umkehrabbildung

$U\times \mathbb {Z} ^{(I)}\longrightarrow Q(R)^{\times },\,(u,{e_{p_{i}}})\longmapsto u\prod _{i\in I}p^{e_{p_{i}}}.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

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