Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

Zu komplexen Zahlen ${}a,b,c,d\in {\mathbb {C} }$ mit
${}ad-bc\neq 0\,$

nennt man die Abbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

eine gebrochen-lineare Funktion.
Die Exponentialreihe in ${}z$ ist die Reihe
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
Es sei ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$ . Dann nennt man die Potenzreihe
${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$
die eingesetzte Potenzreihe.
Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}U'$ mit Werten in ${}W$ ordnet einem Punkt ${}P\in U'$ die lineare Abbildung ${}\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V',W\right)}$ zu.
Die Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ von ${}X$ mit Aufpunkt ${}x_{0}$ ist die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt ${}x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.
Der Körper der elliptischen Funktionen ist die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma$ , versehen mit der natürlichen Addition und Multiplikation.

Zur gelösten Aufgabe