Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen

In dieser Lerneiheit werden Dichtefunktionen verwendet, um Zugehörigkeitsfunktionen für Klassen zu generieren. Die Lernressource kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden.

Diese Lernressource zu Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen gliedert sich in folgende Teilaspekte:

• (1) aus diskreten Daten stetige Dichtefunktionen zu generieren
• (2) aus Dichtenfunktionen eine Fuzzy-Klassifikation mit Zugehörigkeitsfunktion für Klassen zu erzeugen.

Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

• (von Daten zur Dichtefunktion) die Erzeugung von Dichtefunktion stellt in dieser Lerneinheit ein Zwischenschritt für die Erzeugung von Fuzzymengen dar.
• (Fuzzy-Klassifikation) notwendig, da aus Dichtefunktionen eine Zerlegung des Grundraumes in Fuzzymenge für Klassen vorgenommen wird.

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen werden

• aus Daten, differenzierbare Dichtefunktionen erzeugt und
• aus Dichtefunktionen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.

Aus der Stochastik ist die Cauchy-Verteilung bekannt. Verwenden Sie in einem normierten Raum ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ die folgende Glockenkurve:

${\displaystyle g_{V}(x,x_{o},h,s)={\frac {h}{1+\left({\frac {\|x-x_{o}\|}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

• ${\displaystyle x\in V}$ ist das Argument, an dem die Glockenkurve ${\displaystyle g_{V}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ ausgewertet wird.
• ${\displaystyle x_{o}\in V}$ ist das Zentrum der Glockenkurve ${\displaystyle g_{V}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$
• ${\displaystyle h}$ legt den Funktionswert im Zentrum ${\displaystyle x_{o}}$ der Glockenkurve. Je weiter man sich mit ${\displaystyle x\in V}$ von dem Zentrum ${\displaystyle x_{o}}$ entfernt, desto betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert ${\displaystyle |g_{V}(x,x_{o},h,s)|}$.

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: ${\displaystyle \gamma }$ im Bild entspricht s in der obigen Gleichung.

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

Der Quotient ${\displaystyle {\frac {1}{\pi \cdot s}}}$ sorgt für die Normierung des Integrals.

Die Daten ${\displaystyle \mathbb {D} }$ für die mehrdimensionale Dichtefunktion bestehen aus Datenpunkten der Form ${\displaystyle (x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle \mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}}$

Die Werte ${\displaystyle y^{(i)}\in \mathbb {R} ^{+}}$ geben die positive Masse an, die einer Umgebung der Datenpunkte als Eingabenvektoren ${\displaystyle x^{(i)}\in \mathbb {R} ^{n}}$ zugeordnet wird.

Nun definiert man Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung mit

${\displaystyle d_{\mathbb {D} ,s}(x):=\sum _{i=1}^{d}g_{V}(x,x^{(i)},y^{(i)},s)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {y^{(i)}}{1+\left({\frac {\left\|x-x^{(i)}\right\|}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

Als einführendes Beispiel zum Thema Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen dient dabei der Veranschaulichung der Erzeugung von Dichtefunktionen, über die dann Zugehörigkeitsfunktionen generiert werden.

Die folgende Abbildung zeigt 4 Datenpunkte. Für jeden Datenpunkt ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}}$ wird dann eine Cauchy-Dichte ${\displaystyle c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ verwendet, die durch den Punkt ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ läuft (also ${\displaystyle c_{i}(x_{i})=y_{i}}$). Der Graph der einzelnen Cauchy-Dichten ${\displaystyle c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ sind grau darstellt. Die gesuchte Dichte (rot) ist die Summe der Cauchydichten,

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}{\widetilde {d_{n}}}:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\widetilde {d_{n}}}(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}(x)\end{array}}}$

Auch wenn die einzelnen Cauchy-Dichten ${\displaystyle c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ Dichtefunktion für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ jeweils durch den zugehörigen Datenpunkte laufen, so interpoliert ${\displaystyle {\widetilde {d_{n}}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ in der Regel keinen Punkt mehr. Durch das ${\displaystyle y_{i}}$ aus den Datenpunkten ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ wird weiteren Verlauf der Konstruktion die Masse kodiert, die in der Dichte ${\displaystyle {\widetilde {d_{n}}}}$ durch das Datum ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ repräsentiert werden soll.

Die folgende Animation zeigt, wie der Streuparemeter ${\displaystyle s>0}$ auf die Dichte wirkt. Ein großes ${\displaystyle s}$ glättet die Dichte.

Die Masse der Dichtefunktion ${\displaystyle {\widetilde {d_{n}}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ entspricht in der Regel nicht der Summe der Masseparameter ${\displaystyle y_{i}}$ für die Datenpunkte ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$.

Daher berechnet man zunächst das Integral von ${\displaystyle {\widetilde {d_{n}}}}$ normalisiert dann die Dichtefunktion zu ${\displaystyle d_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widetilde {d_{n}}}(x)\,dx&=&\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)\,dx=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{i}(x)\,dx\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\underbrace {\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\,dx} _{=\pi \cdot s}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot \pi \cdot s\\\end{array}}}$

Das uneigentliche Integral kann durch folgende Stammfunktion von ${\displaystyle c_{i}}$ berechnet werden:

${\displaystyle C_{i}(x):=y_{i}\cdot s\cdot \arctan \left({\frac {x-x_{i}}{s}}\right)}$

Mit dem berechneten Integral kann die Masse unter der Kurve auch mit der Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung berechnet werden. Die Dichtefunktion ${\displaystyle d_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ lautet dann:

${\displaystyle d_{n}(x):={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)}$

Damit erhält für das Intergral über die ${\displaystyle d_{n}}$ die aggregierte Masse der ${\displaystyle y_{i}}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }d_{n}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$

Möchte man aus der Dichte eine Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle p_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ erzeugen, definiert man ${\displaystyle p_{n}}$ wie folgt: lautet dann:

${\displaystyle p_{n}(x):={\frac {1}{\pi \cdot s\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)}$

Um die Masse durch die ${\displaystyle y_{i}}$ weiterhin in der Dichte zu kodieren, wird im folgenden weiterhin ${\displaystyle d_{n}}$ verwendet.

In bestimmten Fällen macht es Sinn, dass man die Masse der Dichtefunktion bezogen auf eine messbare Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} }$ einschränkt, wobei für die ${\displaystyle y_{i}}$ alle in ${\displaystyle \mathbb {M} }$ liegen. Die Masseerhaltung in der Dichte wird in diesem Beispiel an einem Intervall veranschaulicht.

Wählt man als messbare Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {M} :=[a,b]\subset \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle x_{i}\in [a,b]}$ für alle ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ gilt, so erhält man als Integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\widetilde {d_{n}}}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)}$

Ein Normalisierung der Masse für ${\displaystyle \mathbb {M} :=[a,b]}$ erfolgt daher mit folgenden Quotienten:

${\displaystyle d_{n}(x):={\frac {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}\right)\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)}}}$

Damit erhält man ${\displaystyle \int _{a}^{b}d_{n}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$.

Soll aus der Dichtefunktion ${\displaystyle {\widetilde {d_{n}}}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ durch Normalisierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle p_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ entstehen, erfolgt die Normalisierung analog mit folgenden Koeffizienten:

${\displaystyle p_{n}(x):={\frac {{\widetilde {d_{n}}}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)}}}$

Mit dem obigen Beispiel wurde bereits eine Dichtefunktion erzeugt, die die Masse der ${\displaystyle y_{i}}$ entweder auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. auf einem Teilintervall ${\displaystyle [a,b]}$ erhält. Wir nehmen nun an, dass auf diesem Wege zwei masseerhaltende Dichtefunktionen ${\displaystyle d^{^{(1)}}}$ und ${\displaystyle d^{^{(2)}}}$ erzeugt wurden.

Da die Cauchy-Dichten für ${\displaystyle y_{i}>0}$ die Eigenschaft haben, für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ positiv zu sein, gilt dies auch für ${\displaystyle d^{^{(1)}}}$ und ${\displaystyle d^{^{(2)}}}$.

Die Definition der Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen erfolgt dann dann durch:

${\displaystyle f^{^{(1)}}(x):={\frac {d^{^{(1)}}(x)}{d^{^{(1)}}(x)+d^{^{(2)}}(x)}}{\mbox{ bzw. }}f^{^{(2)}}(x):={\frac {d^{^{(2)}}(x)}{d^{^{(1)}}(x)+d^{^{(2)}}(x)}}}$

Mit der obigen Definition gilt ${\displaystyle f^{^{(1)}}(x),f^{^{2)}}(x)\in [0,1]}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Insgesamt wurde an dem Beispiel gezeigt, wie man mit Cauchy-Dichten für Daten ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}}$ masseerhaltende Dichten ${\displaystyle d_{n}}$ erzeugt werden, der Beitrag zur Gesamtmasse der Dichte durch die Datenpunkte ${\displaystyle y_{i}}$ bestimmt wurde und mit den Dichten ${\displaystyle d_{n}}$ eine Zerlegung in Fuzzy-Klassen umgesetzt werden kann.

Für die Verallgemeinerung werden nun Dichtefunktionen generiert, die auf Basis der Cauchy-Dichte auf ${\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{2}}$ definiert werden.

Die Daten ${\displaystyle \mathbb {D} }$ für die zweidimensionalen Grundraum für die bestehen aus Datenpunkten der Form ${\displaystyle (x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle \mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{+}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}}$

Die Werte ${\displaystyle y^{(i)}\in \mathbb {R} ^{+}}$ sind positive Wichtungen der Datenpunkte der Eingabenvektoren ${\displaystyle x^{(i)}=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ergibt sich für die grundlegenden Cauchy-Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung folgende Darstellung:

${\displaystyle d_{\mathbb {D} ,s}(x_{1},x_{2})=\sum _{i=1}^{d}{\frac {y^{(i)}}{1+{\frac {\left(x_{1}-x_{1}^{(i)}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{2}^{(i)}\right)^{2}}{s^{2}}}}}}$

Die folgende Dichtefunktion wurde mit 3 Datenpunkte der Form ${\displaystyle (x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x^{(i)}:=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}}$, Die unterschiedlichen Massen ${\displaystyle y^{(i)})\in \mathbb {R} }$ an den Stellen ${\displaystyle x^{(i)}=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})}$ ist an der unterschiedlichen Höhe der Dichtefunktionen ersichtlich

Die zweite Dichtefunktion wurde mit 4 Datenpunkte der Form ${\displaystyle (x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$, wobei wieder der Umgebung von ${\displaystyle x^{(i)}:=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}}$ die Masse ${\displaystyle y^{(i)})\in \mathbb {R} }$ zugeordnet wird. Einige Datenpunkte liegen am Rand des geplotteten Bereiches.

Erzeugen Sie selbst zwei Dichtefunktionen in Maxima CAS oder mit CAS4Wiki und generieren Sie daraus eine Zerlegung des Grundraumes ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {R} ^{2}}$ in zwei Fuzzy-Klassen.

Für die Allgemeinerung betrachtet man nun mehrdimensionale Dichten^[1] und schränkt die gegebenen Dichtefunktionen nicht mehr auf die Erzeugung durch Cauchy-Dichten ein. Ausgangspunkt für die Erzeugung von Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen könnten daher auf Funktionen der Form:

${\displaystyle {\widehat {d}}(x,y):=cos(x)+sin(y)+2,01}$

Die Funktion ${\displaystyle {\widehat {d}}(x,y)}$ ist positiv auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Erzeugen Sie analog zum eindimensionalen Beispiel mit 3 zweidimensionalen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen, wobei 1 bzw. 2 Dichtefunktionen über Cauchy-Dichten erzeugt wurden und eine Dichte mit der obigen trigonometrischen Dichtefunktion erzeugt wurde. Plotten Sie dann die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.

1. ↑ Roth, Z. E., & Baram, Y. (1996). Multidimensional density shaping by sigmoids. IEEE Transactions on Neural Networks, 7(5), 1291-1298.

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