Garbe/Untergarbe/Halmweise Zugehörigkeit/Aufgabe/Lösung

Die halmweise Zugehörigkeit ${\displaystyle {}t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}}$ bedeutet, dass es offene Umgebungen ${\displaystyle {}P\in U_{P}}$ und Schnitte ${\displaystyle {}s_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\subseteq {\mathcal {G}}{\left(U_{P}\right)}}$ gibt, die auf ${\displaystyle {}t_{P}}$ einschränken. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${\displaystyle {}P\in V_{P}\subseteq U_{P}}$ gibt, auf der die Einschränkungen von ${\displaystyle {}t}$ und ${\displaystyle {}s_{P}}$ (als Schnitte von ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$) übereinstimmen. Es gibt also eine offene Überdeckung

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,}$

derart, dass ${\displaystyle {}t{|}_{V_{i}}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{i}\right)}\subseteq {\mathcal {G}}{\left(V_{i}\right)}}$. Da diese Schnitte verträglich sind (sowohl in ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ als auch in ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$), gibt es einen Schnitt ${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}}$, der auf die Schnitte ${\displaystyle {}t{|}_{V_{i}}}$ einschränkt. Da es bei einer Garbe nur eine einzige globale Realisierung eines verträglichen Tupels gibt, folgt ${\displaystyle {}s=t}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$, also ist

${\displaystyle {}t\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}}$